時間序列－ARMA

時間序列為統計學的一種方法，最初使用的領域在經濟、財務領域，而後也推廣到像是生物、大氣或是行銷等領域。時間序列架構在時間類型的相關資料，藉由一些數學假設，讓資料達到穩態 ( Stationary )，使得過去的資料得以預測未來的資料。在這篇則會介紹最基本的 ARMA 模型、如何挑選及 R 的實作。

Stationary

穩態 (Stationary) 為時間序列的基本假設，若資料符合穩態的假設，則可以得到

(i) $\mu_x (t)$ 與 t 獨立

(ii) $\gamma(t+h, t)$ 再任意 h 下，與 t 獨立

將這兩個定義簡短的解釋就是，在資料符合穩態的情況下，資料的期望值與所在的時間點無關，只與經歷的時間期間有關。(wiki)

ARMA

ARMA 為 Autoregressive model 和 Moving average model 的結合，Autoregressive model 又稱 AR 模型，AR(p) 使用落後 p 期的資料作為自變數預測未來資料。Moving average 又稱 MA 模型，MA(q) 使用落後 q 期的預測誤差項作為自變數預測未來資料。而 ARMA 則是 AR 與 MA 模型的結合。數學式為

$X_t = \Sigma_{i=1}^{p}\varphi_i X_{t-i} + \Sigma_{i=1}^{q}\theta_i \varepsilon_{t-i}$

如何挑選適合的 ARMA(p,q) ?

在統計學上有簡單判斷 ARMA 的落後項，通常會將資料做 ACF 與 PACF 的分析，挑選 $\alpha < 0.05$ 的落後項。

R 實作

在這裡使用 Johnson and Johnson 1960-1980 每季 EPS 作為這次實際操作的資料。

install.packages(astsa)
library(astsa)
head(jj) # jj 為 Johnson and Johnson 1960-1980 每季 EPS 
jj.nu 
jj.dif 
jj.dif 
acf2(jj.dif) #藉由 ACF, PACF 判斷挑選 參數為 (4,0,1)
fit 
plot(fit$x,col="red")
lines(fitted(fit),col="blue")

由這個圖判斷選取 (4,0,1) 做為模型的參數

rplot03